向量的平行四边形法则、向量回路、向量的直角坐标表示和代数运算

在实数系中，我们熟知实数的加、减、乘、除、幂运算等等。

但向量既有大小又有方向，它的运算迥异于我们熟悉的实数运算。

首先是向量的加减运算。

向量是一个数学概念，但它的婴儿时期，向量与物理学的矢量概念密切相关，那么不同方向上的加减运算也必定遵从矢量加减的等效原则，也就是两个不同方向的向量加减，遵从向量的平行四边形法则。

如上图：

向量OC和向量OD相加，我们可以把向量OD平移到向量CG，把向量OC平移到向量DG，形成一个平行四边形，我们就可以得到平行四边形的对角线OG，向量OG就是向量OC和向量OD相加的等价向量，也就是：

同理，如果向量EF等价于向量CG，那么二者相加，也可以把它平移到CG的位置，然后利用平行四边形法则，得到结果：

向量的平行四边形法则，又可以演化成向量加法的三角形法则，如上图：

也就是说，如果两个向量首尾相连，那么两向量的和就是从起点指向终点的向量。

规定：向量的加法，满足结合率和交换律，即：0+a=a+0=a，具体到本例也就是：

上述交换律，其实也可以根据自由向量的平移等价性得到验证：把向量CG平移到向量OD，把向量OC平移到向量DG，现在两向量又变成首尾相连，根据向量相加的三角形法则，即可得到。

向量相减，其实就是被减数加上减数向量的相反向量，也就是：

还是在上图中：

运算遵从的依旧是首尾相连的三角形法则。

我们看到，两向量相加的三角形法则，可以形成一个向量相加的回路，两向量相加，它的结果向量总是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点。

根据这个特点，多个向量相加，只要符合首尾相连的特征，我们就可以利用加法结合律，首先计算前两项的结果，然后顺次两两相加，得到最终的和向量：

当然，后面两项你完全可以不用首先加起来，直接采用顺次相加的办法，依旧可以得到相同的结果。

这种向量加法的闭环形式，就是我们常说的向量回路。

根据这个特点，我们无需考虑上述多个向量是否存在于同一个平面内，只要是能找到多个向量首尾相连的特征，我们就可以直接得到结果向量。

利用这种向量回路，有时可以在平面几何或者立体几何的图形证明中收到奇效，可以拓宽我们的解题思路，或者减少代数运算的计算量。

向量除了这种几何运算方法之外，还可以进行坐标运算。

如下图：

在直角坐标系中，无论向量OZ在哪，都可以把它的起始点平移到原点的位置，从终点Z分别向x轴和y轴做垂线，和两坐标轴相交，可以得到唯一的坐标值a和b，这样我们就可以把向量OZ在x轴和y轴的投影向量，分别定义为向量ai和向量bj，其中向量i和向量j分别是x轴和y轴上的单位向量。

根据平行四边形法则，向量OZ就可以可以写成：

这样，我们把向量OZ用直角坐标（a,b）来唯一表示，是不会引起任何误解的，所以向量OZ又可以写成:

这就是向量的坐标表示。

现在我们把另一个向量OA加入进来：

向量OA也可以用A点的直角坐标进行唯一表示：

现在我们让向量OA和向量OZ相加。

根据平行四边形法则，和是向量OB，显然，向量OB也可以写成：

由此我们可以得出向量加法的坐标运算：

也就是说，两向量相加，其实就是两向量的坐标对应相加。

同理，我们也可以知道，两向量相减，就是两向量坐标对应相减。